Cách giải các bài toán về đường thẳng y = ax + b cực hay, có đáp án | Toán lớp 9

Cách giải các bài toán về đường thẳng y = ax + b cực hay, có đáp án

Với Cách giải các bài toán về đường thẳng y = ax + b cực hay, có đáp án Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập đường thẳng y = ax + b từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

A. Phương pháp giải

Dạng 4.1: Tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng

Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng.

Bước 2: Giải phương trình bậc hai, tìm hoành độ giao điểm.

Bước 3: Tìm tung độ giao điểm (nếu có).

Bước 4: Kết luận.

Dạng 4.2. Biện luận số giao điểm của parabol và đường thẳng

Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng.

Bước 2: Biện luận số giao điểm của parabol và đường thẳng theo số nghiệm của phương trình (số giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm).

+) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ((d) và (P) có hai điểm chung phân biệt) ⇒ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0 hoặc Δ' > 0).

+) (d) tiếp xúc với (P) ((d) và (P) có một điểm chung) ⇒ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép (Δ = 0 hoặc Δ' = 0).

+) (d) và (P) không cắt nhau ((d) và (P) không có điểm chung) ⇒ phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm (Δ < 0 hoặc Δ' < 0).

Bước 3: Kết luận.

Dạng 4.3. Parabol cắt đường thẳng thỏa mãn điều kiện về tọa độ giao điểm

Cho parabol (P): y = ax² (a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n.

Bước 1:Viết phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng.

ax² = mx + n ⇔ ax² - mx - n = 0 (*)

Bước 2:Xét điều kiện để parabol có điểm chung với đường thẳng:

- TH1: Parabol tiếp xúc với đường thẳng (có 1 điểm chung) ⇒ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép (Δ = 0 hoặc Δ' = 0).

- TH2: Parabol cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt (có 2 điểm chung phân biệt) ⇒ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0 hoặc Δ' > 0).

Bước 3:Xét điều kiện về tọa độ giao điểm:

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm có tung độ dương ⇒ a > 0.

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm có tung độ âm ⇒ a < 0.

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm có hoành độ cùng dấu ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm cùng dấu ⇒ hay a.n < 0.

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm có hoành độ dương ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm dương ⇒

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm có hoành độ âm ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm âm ⇒

+) Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ trái dấu ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm trái dấu ⇒ hay a.n > 0

+) Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm có tọa độ thỏa mãn biểu thức cho trước: Sử dụng hệ thức Vi-ét, kết hợp biến đổi biểu thức.

Bước 4: Kết luận.

Dạng 4.4. Parabol cắt đường thẳng thỏa mãn điều kiện về vị trí giao điểm

Cho parabol (P): y = ax² (a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n.

Bước 1:Viết phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng.

ax² = mx + n ⇔ ax² - mx - n = 0 (*)

Bước 2:Xét điều kiện để parabol có điểm chung với đường thẳng:

- TH1: Parabol tiếp xúc với đường thẳng (có 1 điểm chung) ⇒ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép (Δ = 0 hoặc Δ' = 0).

- TH2: Parabol cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt (có 2 điểm chung phân biệt) ⇒ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0 hoặc Δ' > 0).

Bước 3:Xét điều kiện về vị trí giao điểm:

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm phía trên trục hoành ⇒ a > 0.

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm phía dưới trục hoành ⇒ a < 0.

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm cùng phía so với trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm cùng dấu ⇒ hay a.n < 0.

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm cùng nằm phía bên phải trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm dương ⇒

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm cùng nằm phía bên trái trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm âm ⇒

+) Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm trái dấu ⇒ hay a.n > 0.

+) Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm thỏa mãn điều kiện khác: Sử dụng hệ thức Vi-ét, kết hợp biến đổi biểu thức.

Bước 4: Kết luận.

B. Các ví dụ điển hình

Ví dụ 1: Cho parabol (P): y = mx² (m ≠ 0) và đường thẳng (d): y = 2(m + 1)x - m - 2. Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là:

Lời giải

Chọn B

Ví dụ 2:Đường thẳng nào sau đây luôn cắt parabol (P): y = 3x² tại hai điểm phân biệt với mọi m?

Lời giải

Chọn B

Ví dụ 3:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d):y = mx - 2m + 3 và parabol (P): y = x² Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thỏa mãn x₁²x₂ + x₂²x₁ = 5.

Lời giải

Chọn A

Ví dụ 4:Có bao nhiêu giá trị của m để parabol (P): y = -mx² (m ≠ 0) và đường thẳng (d): y = x - m - 1 cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ là các số nguyên và đều ở phía trên trục hoành.

Lời giải

Chọn D

C. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = mx + 3 (với m là tham số, m ≠ 0) . Giá trị của m để (d) tiếp xúc với (P)

Lời giải:

Đáp án C

Bài 2: Cho hàm số y = -x² có đồ thị là parabol (P) và hàm số y = m² + 1 (với m là tham số). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án C

Bài 3: Đường thẳng nào sau đây cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt?

Lời giải:

Đáp án A

Bài 4: Đường thẳng nào sau đây không có điểm chung với đồ thị của hàm số ?

Lời giải:

Đáp án B

Bài 5: Cho đường thẳng (d): y = 2(m - 2)x - 3 và parabol (P): . Tìm m để (d) tiếp xúc với (P).

Lời giải:

Đáp án A

Bài 6: Cho hàm số y = x² có đồ thị là parabol (P) và đường thẳng (d): y = mx - m + 2. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁; x₂ mà x₁³ + x₂³ = 18.

Lời giải:

Đáp án C

Bài 7: Cho đường thẳng (d) có phương trình y = -x + 2 và parabol (P) có phương trình y = x² Viết phương trình đường thẳng (d’) song song với (d) và tiếp xúc với (P) tại điểm có hoành độ bằng -1.

Lời giải:

Đáp án D

Bài 8: Đường thẳng nào sau đây tiếp xúc với parabol (P): y = -2x² tại điểm (1; -2)?

Lời giải:

Đáp án A

Bài 9: Cho hàm số có đồ thị là parabol (P). Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm và tiếp xúc với (P)?

Lời giải:

Đáp án B

Bài 10: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng y = (2 -m)x + 8. Số giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm có hoành độ x₁, x₂ sao cho biểu thức Q = (x₁² - 1)(x₂² - 4) đạt giá trị lớn nhất là:

Lời giải:

Đáp án B