Các dạng toán về căn bậc hai lớp 9 và cách giải | Toán lớp 9

Các dạng toán về căn bậc hai lớp 9 và cách giải

Với Các dạng toán về căn bậc hai lớp 9 và cách giải Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập căn bậc hai từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

I. Lý thuyết:

+ Căn bậc hai của một số thực a không âm là x sao cho x² = a

+ Mỗi số dương a có hai căn bậc hai là √a và -√a;

+ Số 0 có một căn bậc hai là 0

+ Số âm không có căn bậc hai.

Chú ý: Căn bậc hai số học của một số a không âm là √a

+ Nếu a > b ≥ 0 => √a > √b

II. Các dạng bài tập và ví dụ

Dạng 1: Tìm căn bậc hai, căn bậc hai số học của một số cho trước.

Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa chỉ có số thực không âm mới có căn bậc hai.

Nếu a > 0 thì căn bậc hai của a là ±√a và căn bậc hai số học của a là √a.

Nếu a = 0 thì căn bậc hai của a bằng 0.

Nếu a âm thì a không có căn bậc hai.

Ví dụ 1: Các số sau đây số nào không có căn bậc 2?

3,2; -4,4; 0; √13 ; ;17.

Lời giải:

Vì -4,4; là các số âm nên không có căn bậc hai.

Ví dụ 2: Tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học của các số sau:

a) 16 b) 0 c) 0,25 d)

Lời giải:

a) Căn bậc hai của 16 là 4 và -4 vì 4² = 16 và (-4)² = 16

Căn bậc hai số học của 16 là 4

b) Căn bậc hai của 0 là 0 vì 0² = 0

Căn bậc hai số học của 0 là 0.

c) Căn bậc hai của 0,25 là 0,5 và –0,5 vì 0,5² = 0,25 và (-0,5)² = 0,25

Căn bậc hai số học của 0,25 là 0,5

d) Căn bậc hai của

Căn bậc hai số học của

Dạng 2: Tìm một số khi biết căn bậc hai số học cho trước.

Phương pháp giải: Với số thực không âm a cho trước ta luôn có số là số có căn bậc hai số học bằng a.

Ví dụ 1: Mỗi số sau đây là căn bậc hai số học của số nào?

a) 0,7 b) 7 c) d) √13

Lời giải:

a) Ta có: (0,7)² = 0,49 nên 0,49 là số có căn bậc hai số học là 0,7

b) Ta có 7² nên 49 là số có căn bậc hai số học là 7

c) Ta có nên là số có căn bậc hai số học là

d) Ta có (√13)² = 13 nên 13 là số có căn bậc hai số học là √13

Dạng 3: So sánh căn bậc hai số học.

Phương pháp giải: Nếu 0 ≤ a < b ⇔ 0 ≤ √a < √b

Ví dụ 1: So sánh các số sau

a) 3 và 2√2 b) 4 và √14 + 1

Lời giải:

a) Ta có: 3² = 9 và (2√2)² = 2².2 = 4.2 = 8

Vì 9 > 8 nên √9 > √8

=> 3 > 2√2

b) Ta có: 4 = 3 + 1 vậy để so sánh 4 và √14 + 1 ta đi so sánh 3 và √14

3² = 9. Vì 14 > 9 nên √14 > √19 => √14 > 3 => √14 + 1 > 3 + 1 => √14 + 1 > 4

Ví dụ 2: Tìm số lớn nhất trong các số sau: √14; 2√5; 4

Lời giải:

Ta có: (2√5)² = 2².5 = 4.5 = 20

4² = 16

Vì 14 < 16 < 20 nên √14 < √16 < √20 => √14 < 2 < 2√5

Vậy số lớn nhất trong các số đã cho là 2√5

Dạng 4: Tính giá trị biểu thức khi có căn bậc hai.

Phương pháp giải: Với a≥ 0 ta có √a² = a và (√a)² = a

Ví dụ 1: Tính

a) √0,36 b) (√6)² c)

Lời giải:

a) Ta có:√0,36 = √(0,6)² = 0,6

b) Ta có: (√6)² = 6

c) Ta có:

Ví dụ 2: Tính các giá trị biểu thức sau:

Lời giải:

Dạng 5: Tìm điều kiện để căn có nghĩa.

Phương pháp giải:

Biểu thức √A có nghĩa khi và chỉ khi A ≥ 0

Chú ý: Với a là số dương ta luôn có

x² ≤ 0 ⇔ -a ≤ x ≤ a

Ví dụ: Tìm điều kiện để căn có nghĩa

Lời giải:

a) Ta có để có nghĩa

⇔

Vì – 2 < 0 nên để

thì 3x - 1 < 0( do mẫu số phải khác 0 nên 3x - 1 ≠ 0 )

3x - 1 < 0

⇔ 3x < 1

⇔

Vậy thì căn có nghĩa

b) Ta có

Xét x² - 2x + 4

= x² - 2x + 1 + 3

= (x² - 1) + 3 ≥ 3 > 0 với mọi x ∈ R

Do đó

⇔ 3x - 2 ≥ 0

⇔ 3x ≥ 2

⇔ x ≥ 2:3

⇔

Vậy thì căn đã cho có nghĩa

Dạng 6: Tìm giá trị của x thỏa mãn biểu thức cho trước

Phương pháp giải:

+ x² = a² ⇔ x = ±a

+ Với số a ≥ 0, ta có √x = a ⇔ x = a²

Ví dụ 1: Tìm x biết:

a) 16x² - 25 = 0

b)

Lời giải:

a) 16x² - 25 = 0

⇔ 16x² = 0 + 25

⇔ 16x² = 25

⇔ x² = 25:16

Vậy x

b)

Điều kiện xác định:

⇔ x ( thỏa mãn điều kiện)

Vậy x .

Dạng 7: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện của căn.

Bước 2: Xét biểu thức trong căn để đưa về biểu thức có thể đánh giá được lớn nhất nhỏ nhất như dùng hằng đẳng thức…

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải:

Ta có:

x² - 6x + 13 = x² - 2.x.3 + 9 + 4

= x² - 2.x.3 + 3² + 4

= (x - 3)² + 4

Vì (x - 3)² ≥ 0

⇔ (x - 3)² + 4 ≥ 0 + 4

⇔ (x - 3)² + 4 ≥ 4 > 0 Với ∀x ∈ R

Căn luôn có nghĩa

Mặt khác:

Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của căn bằng 2 khi x = 3

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của căn

Lời giải:

Ta có:

x² - 2x + 3

= x² - 2x + 1 + 2

= (x - 1)² + 2

Vì (x - 1)² ≥ 0

(x - 1)² + 2 ≥ 2 > 0

Lại có:

Dấu bằng xảy ra khi:

(x - 1)² = 0

⇔ x - 1 = 0

⇔ x = 1

Vậy giá trị lớn nhất của căn đã cho là khi x = 1

III. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Tìm căn bậc hai, căn bậc hai số học của các số sau:

a) 0,81 d) 1,69

Bài 2: Trong các số sau đây số nào có căn bậc hai? Hãy tìm căn bậc hai số học của các số đó.

Bài 3: So sánh các số

a) √13 và 3 b) 4 và 1 + 2√2 c) 5 và 2√6 - 1

Bài 4: Thực hiện phép tính:

Bài 5: Tìm điều kiện để căn có nghĩa

Bài 6: Tìm x biết:

a) 16x² - 81 = 0

b) -x² + 144 = 0

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của các căn sau:

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của các căn sau: