Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án | Toán lớp 9

Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án

Với Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập phương trình bậc hai chứa tham số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

A. Phương pháp giải

Dạng 3.1: Giải và biện luận phương trình theo tham số m

Bước 1: Xác định các hệ số a; b; c (hoặc a; b'; c).

Bước 2: Giải phương trình theo m:

+) Với giá trị của m mà a = 0, giải phương trình bậc nhất.

+) Với giá trị của m mà a ≠ 0, giải phương trình bậc hai: Tính Δ = b'² - ac (hoặc Δ' = b² - 4ac), xét các trường hợp của Δ chứa tham số và tìm nghiệm theo tham số.

Bước 3: Kết luận.

Biện luận phương trình:

- Phương trình có nghiệm khi:

+) Với giá trị của m mà a = 0, phương trình bậc nhất có nghiệm.

+) Với giá trị của m mà a ≠ 0, phương trình bậc hai có nghiệm.

- Phương trình có một nghiệm khi:

+) Với giá trị của m mà a = 0, phương trình bậc nhất có nghiệm.

+) Với giá trị của m mà a ≠ 0, phương trình bậc hai có nghiệm kép.

- Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi: Giá trị của m mà a ≠ 0, phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt.

Dạng 3.2: Xác định dấu các nghiệm của phương trình

Bước 1: Xác định hệ số.

Bước 2: Tính Δ = b² - 4ac (hoặc Δ' = b² - 4ac) để kiểm tra phương trình có nghiệm hay không.

Bước 3: Trong trường hợp phương trình có nghiệm (Δ ≥ 0 hoặc Δ' ≥ 0), tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo định lý Vi-ét để xét dấu các nghiệm của phương trình.

+) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu: P > 0.

+) Phương trình có hai nghiệm dương: .

+) Phương trình có hai nghiệm âm: .

+) Phương trình có hai nghiệm trái dấu: P < 0.

Chú ý: Phương trình có hai nghiệm trái dấu chỉ cần xét P < 0 hoặc a.c < 0.

Bước 4: Kết luận.

Dạng 3.3: Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

Dạng 3.3.1: Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện về dấu hoặc thỏa mãn đẳng thức, bất đẳng thức liên hệ giữa các nghiệm

Bước 1: Tìm điều kiện a ≠ 0 (nếu cần) và điều kiện để phương trình có nghiệm.

Bước 2: Tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo định lý Vi-ét.

Bước 3: Sử dụng hệ thức Vi-ét, kết hợp biến đổi đẳng thức, bất đẳng thức để tìm tham số.

Bước 4: Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Dạng 3.3.2: Tìm tham số m để phương trình có một nghiệm là x₀.

Bước 1: Thay giá trị x₀ vào phương trình để tìm tham số.

Bước 2: Thay giá trị của tham số vào phương trình hoặc hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm còn lại.

Bước 3: Kết luận.

Dạng 3.3.3: Tìm giá trị của tham số để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung.

Bước 1: Tìm điều kiện để các phương trình có nghiệm.

Bước 2: Tìm nghiệm chung và tìm tham số: Có thể giả sử x₀ là nghiệm chung, lập hệ phương trình trình hai ẩn (x₀ và tham số) và giải hệ phương trình.

Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.

B. Các ví dụ điển hình

Ví dụ 1: Giải phương trình x² - 2x + 1 - m² = 0 với m là tham số, m ≠ 0.

Lời giải

Chọn A

Ví dụ 2: Cho phương trình x² + √7x + 1 = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải

Chọn B

Ví dụ 3: Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình x² - 2x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ sao cho x₁².x₂² ≤ 4 là:.

Lời giải

Chọn B

Ví dụ 4: Phương trình bậc hai mx² + (2m + 1)x + 3 = 0 có một nghiệm là x = -1. Giá trị của m và nghiệm còn lại là:

Lời giải

Chọn A

Ví dụ 5: Cho hai phương trình bậc hai x² + 2x + m = 0 (1) và x² + mx + 2 = 0 (2) (với m là tham số). Tìm m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung.

Lời giải

Chọn B

C. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho phương trình bậc hai (m - 1)x² - 2mx + m + 2 = 0 (với m là tham số). Giải phương trình trong trường hợp m < 2.

Lời giải:

Đáp án C

Bài 2: Cho m là số nguyên để phương trình 2x² - 4x + m - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. Giá trị của biểu thức là:

Lời giải:

Đáp án B

Bài 3: Phương trình 2x² + (m - 1)x + 2m + 4 = 0 có một nghiệm bằng 5. Nghiệm còn lại của phương trình là:

Lời giải:

Đáp án B

Bài 4: Với giá trị nào của m thì hai phương trình x² - mx + m + 1 = 0 (1) và x² - (m - 2)x + m - 3 = 0 (2) có ít nhất một nghiệm chung ?

Lời giải:

Đáp án C

Bài 5: Giá trị nguyên dương của m để phương trình 2x² - 4x + m = 0 có hai nghiệm dương phân biệt là:

Lời giải:

Đáp án D

Bài 6: Tìm giá trị của tham số m để phương trình 3x² - 4x + m = 0 có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn 3x₁ + 7x₂ = 0.

Lời giải:

Đáp án A

Bài 7: Tìm m để phương trình x² + (1 - 2m)x + 3m = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền là 5.

Lời giải:

Đáp án B

Bài 8: Cho phương trình (m - 1)x² - 2mx + m - 4 = 0(m là tham số, m ≠ 0). Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Giá trị của biểu thức A = 3(x₁ + x₂) + 2x₁x₂ - 8 là:

Lời giải:

Đáp án A

Bài 9: Cho phương trình bậc hai x² - mx + m - 1 = 0 (với m là tham số). Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải:

Đáp án D

Bài 10: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình bậc hai -x² - (m - 1)x + m² + m - 2 = 0 (với m là tham số). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x₁² + x₂² là:

Lời giải:

Đáp án A