Cách giải bài tập Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông cực hay | Toán lớp 9
Cách giải bài tập Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông cực hay
Với Cách giải bài tập Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông cực hay Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.
Lý thuyết và Phương pháp giải
1. Các hệ thức
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề
b) Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cot góc kề
b = a.sinB = a.cosC
c = a.sinC = a.cosB
b = c.tanB = c.cotC
c = b.tanB = b.cotC
2. Giải tam giác vuông
Là tìm tất cả các yếu tố còn lại của một tam giác vuông khi biết trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông)
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải tam giác ABC vuông tại A biết AC = 4,1 cm; BC = 5,7 cm
Hướng dẫn:
Xét tam giác ABC vuông tại A:
Áp dụng định lí Pytago có:
BC2 = AB2 + AC2
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nhọn, Vẽ 3 đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC
Hướng dẫn:
ΔABE vuông tại E có: AE = AB.cosA
ΔFBC vuông tại F có: BF = BC.cosB
ΔADC vuông tại D có: CD = AC.cosC
⇒ AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC
Ví dụ 3: Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC, đường cao AH = h và đường trung tuyến AM, đặt góc HAM bằng α. Chứng minh rằng:
a) HC - HB = 2h.tanα
Hướng dẫn:
a) Ta có:
HC - HB = HM + MC - (MB - HM)
= HM + MC - MB + HM = 2HM (Do MB = MC)
= 2AH.tanα = 2h.tanα
b) Δ AHC vuông tại H có: HC = AH.cotC = h.cotC
Δ AHB vuông tại H có: HB = AH.cotB = h.cotB
Do đó: HC - HB = h(cotC - cotB)
⇒ 2h.tanα = h(cotC - cotB)
Ví dụ 4: Tam giác ABC có diện tích S, các đường cao không nhỏ hơn 1 cm. Chứng minh rằng S ≥ √3/3 cm2
Hướng dẫn:
Giả sử:
Suy ra sinC ≤ √3/2
Vẽ các đường cao AD và BE
Xét tam giác EBC vuông tại E có: BE = BC.sinC
Diện tích tam giác ABC là:
Vậy S ≥ √3/3 cm2 (dấu bằng xảy ra khi ΔABC đều)
Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD, góc D bằng α < 900. Vẽ BH ⊥ CD; BK ⊥ AD.
a) Chứng minh rằng ΔBHK ~ ΔABD
b) Chứng minh rằng HK = BD.sinα
c) Tính diện tích tứ giác KBHD biết AB = 6cm; AD = 4cm; α= 600
Hướng dẫn:
Xét tam giác ABK và tam giác CBH có:
Xét ΔBHK và ΔADB có:
⇒ ΔBHK ~ ΔADB (c.g.c)
b) ΔBHK ~ ΔADB
Xét ΔBCH vuông tại H có:
c) Xét ΔKAB vuông tại K có:
AK = AB.cosα = 6.cos 600 = 3(cm) ⇒ DK = 7cm
BK = AB.sinα = 6.sin 600 =3 √3 (cm)
Xét ΔHBC vuông tại H có:
CH = BC.cosα = 4.cos 600 = 2(cm) ⇒ DH = 8cm
BH = BC.sinα = 4.sin 600 = 2√3 (cm)
Diện tích tứ giác KBHD là: