Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện | Toán lớp 9

Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện

Với Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

A. Phương pháp giải

Cho phương trình: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

1. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho x₁ = px₂ (với p là một số thực)

B1- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt .

B2- Áp dụng định lý Vi - ét tìm:

B3- Kết hợp (1) và (3) giải hệ phương trình:

B4- Thay x₁ và x₂ vào (2) ⇒ Tìm giá trị tham số.

2. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện: |x₁ - x₂| = k(k ∈ R)

- Bình phương trình hai vế: (x₁ - x₂)² = k² ⇔ ... ⇔ (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = k²

- Áp dụng định lý Vi-ét tính x₁ + x₂ và x₁x₂ thay vào biểu thức ⇒ kết luận.

3. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ:

B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (∆ ≥ 0)

B2: Áp dụng Vi-ét tính x₁ + x₂ và x₁x₂ (*)

+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm > α

Ta có: . Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m

+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm < α

Ta có: (*).Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m

+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm: x₁ < α < x₂

Ta có: (x₁ - α)(x₂ - α) < 0 (*). Thay biểu thức Vi-ét vào (*) để tìm m

Ví dụ 1: Cho phương trình: x² - (2m - 1)x + m² - 1 = 0 (x là ẩn số)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b) Định m để hai nghiệm x₁, x₂ của phương trình đã cho thỏa mãn (x₁ - x₂)² = x₁ - 3x₂

Giải

a) Δ = (2m - 1)² - 4.(m² - 1)= 4m² - 4m + 1 - 4m² + 4 = 5- 4m

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Δ > 0 ⇔ 5 - 4m > 0 ⇔ m <

b) Phương trình có hai nghiệm ⇔ m ≤

Kết hợp với điều kiện (thỏa mãn) là các giá trị cần tìm.

Vậy với m = 1 hoặc m = - 1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn (x₁ - x₂)² = x₁ - 3x₂.

Ví dụ 2: Cho phương trình x² - 10mx + 9m = 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình đã cho với m = 1.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa điều kiện x₁ - 9x₂ = 0.

Giải

a) Với m = 1 phương trình đã cho trở thành x² - 10x + 9 = 0.

Ta có: a + b + c = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là

b) Δ' = (-5m)² - 1.9m = 25m² - 9m

Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là Δ' > 0 ⇔ 25m² - 9m > 0

Theo hệ thức Vi-ét ta có

Từ (*) và giả thiết ta có hệ phương trình:

Thay vào phương trình (**) ta có:

Với m = 0 ta có Δ' = 25m² - 9m = 0 không thỏa mãn điều kiện phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Với m = 1 ta có Δ' = 25m² - 9m = 16 > 0 thỏa mãn điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Kết luận: Vậy với m = 1thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa điều kiện x₁-9x₂ = 0

Ví dụ 3: Cho phương trình x² - 2(m - 1)x + 2m - 5 = 0 (m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ < 1 < x₂

Giải

a) Ta có: Δ = [-2(m - 1)]² - 4.1.(2m - 5) = 4m² - 12m + 22

= (2m)² - 2.2m.3 + 9 + 13 = (2m-3)² + 13 > 0 (luôn đúng với mọi m)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

Ta có: x₁ < 1 < x₂ ⇒ ⇒(x₁ - 1)(x₂ - 1) < 0⇒x₁ x₂ - (x₁+x₂)+1 < 0 (II)

Thay (I) vào (II) ta có: (2m - 5) - (2m - 2) + 1 < 0 ⇔ 0.m - 2 < 0 (đúng với mọi m).

Vậy với mọi m thì phương trình trên có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ < 1 < x₂

B. Bài tập

Câu 1: Cho phương trình x² - (2m + 2)x + 2m = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn

A. m = 0

B. m = 1

C. m = 3

D. m = 4

Giải

Phương trình x² - (2m + 2)x + 2m = 0 ⇔ x² - 2(m + 1)x + 2m = 0

Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm x₁, x₂ là

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là A

Câu 2: Cho phương trình x² + 2x - m² - 1 = 0 (m là tham số)

Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa mãn x₁ = -3x₂

A. m = 3

B. m = ±1

C. m = ±√2

D. m = -2

Giải

Ta có: Δ' = 1² - 1.(-m² - 1)=1 + m² + 1 = m² + 2 > 0 (luôn đúng với mọi m)

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo Vi-ét ta có:

Ta có: x₁ + x₂ = -2 (do trên) và x₁ = -3x₂ nên có hệ phương trình sau:

Thay (*) vào biểu thức x₁.x₂ = -m² - 1 ta được:

Vậy m = ±√2 là các giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là C

Câu 3: Cho phương trình x² - 2(m + 1)x + m² + m - 1 = 0 (m là tham số)

Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện . Tính tích của các giá trị đó

Giải

Δ' = (m + 1)² - (m² + m - 1) = m² + 2m + 1 - m² - m + 1 = m + 2

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ' > 0 ⇔ m + 2 > 0 ⇔ m > -2

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

Do đó:

Kết hợp với điều kiện m > -2 là các giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là C

Câu 4: Cho phương trình (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn

Giải

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì ∆ ≥ 0

Phương trình có nghiệm khác 0

Kết hợp với điều kiện ta có

Vậy là các giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là B

Câu 5: Cho phương trình (m là tham số).

Tìm m để phương trình có hai nghiệm là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.

A. m = ±2

B. m = ±√2

C. m = - 1

D. m = 0

Giải

Ta có: , luôn đúng với mọi m

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.

Giả sử phương trình có hai nghiệm là x₁, x₂.

Áp dụng Vi-et ta có:

Theo đề bài x₁, x₂ là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 nên ta có:

Vậy m = ±2 là các giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là A

Câu 6: Cho phương trình x² - 2x - 2m² = 0 với x là ẩn số.

Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức x₁² = 4x₂².

A. m = ±2

B. m = ±1

C. m = -6

D. m = 3

Giải

Ta có: Δ' = (-1)² - (-2m² )= 1 + 2m² > 0

Suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

Giả sử phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ theo hệ thức Vi-ét:

Vậy m = ±2 là giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là A

Câu 7: Cho phương trình x² – 5x + m = 0 (m là tham số).

Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn |x₁ - x₂| = 3.

A. m = 2

B. m = 4

C. m = 6

D. m = 8

Giải

Ta có: ∆ = 25 – 4m

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ thì

Theo Vi-ét, ta có: x₁ + x₂ = 5 (1) và x₁.x₂ = m (3)

Mặt khác theo giả thiết ta có: |x₁ - x₂| = 3 (2)

Giải hệ (1) và (2):

Với x₁ = 4, x₂ = 1 thay vào (3) ta được m = 4

Với x₁ = 1, x₂ = 4 thay vào (3) ta được m = 4

m = 4 thỏa mãn điều kiện (*) , vậy m = 4 là giá trị cần tìm

Đáp án đúng là B

Câu 8: Cho phương trình bậc hai x² + 2(m - 1)x - (m + 1)= 0

Tìm giá trị m để phương trình có một nghiệm lớn hơn và một nghiệm nhỏ hơn 1.

Giải

Ta có:

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Theo hệ thức Vi- ét ta có:

Để phương trình có một nghiệm lớn hơn , một nghiệm nhỏ hơn 1 thì (x₁ - 1)(x₂ - 1) < 0

Đáp án đúng là C

Câu 9: Cho phương trình bậc hai: x² + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0

Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2

A. m > - 1

B. m > 2

C. m < 2

D. m < 0

Giải

Ta có:

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Theo hệ thức Vi- ét ta có:

Để phương trình có hai nghiệm đều nhỏ hơn 2 thì:

Vậy đáp án đúng là D

Câu 10: Cho phương trình x² - (2m + 3)x + m² + 3m + 2 = 0

Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn -3 < x₁ < x₂ < 6

A. m > 1

B. -2 < m < 2

C. -4 < m < 4

D. m < 3

Giải

Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo hệ thức Vi-et ta có:

Vì -3 < x₁ < x₂ < 6 nên

Vậy -4 < m < 4.

Đáp án đúng là C