Cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cực hay, có lời giải | Toán lớp 9
Cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cực hay, có lời giải
Với Cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cực hay, có lời giải Toán lớp 9 tổng hợp các dạng bài tập, bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.
Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn siêu hay, chi tiết
Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số cực hay
Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay
Cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số cực hay
Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất cực hay
Cách tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m của hệ phương trình
Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
A. Phương pháp giải
Phương pháp 1: Phương pháp thế.
Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thức nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).
Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Bước 4: Kết luận.
Phương pháp 2: Phương cộng đại số.
Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp( nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó( ẩn x hay y) trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
Bước 2: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới
Bước 3: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia)
Bước 4: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Bước 5: Kết luận
Phương pháp 3: Phương đặt ẩn phụ.
Bước 1: Đặt điều kiện của phương trình.
Bước 2: Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ. Đưa hệ ban đầu về hệ mới.
Bước 3: Giải hệ mới tìm ẩn phụ.
Bước 4: Thay giá trị vào ẩn phụ tìm x và y.
Bước 5: Kết luận.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Hướng dẫn giải:
Từ pt (2) suy ra: y = –2x, thay vào pt (1) ta được:
4x + 3. (–2x) = 6 ⇔ 4x – 6x = 6 ⇔ –2x = 6 ⇔ x = –3
Với x = –3 ⇒ y = 6.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (–3; 6)
Ví dụ 2:
Hướng dẫn giải:
Cộng hai phương trình trên với nhau ta được: 13x = –13 ⇔ x = –1.
Với x = –1 → 2y = 3.(–1) + 3 ⇔ y = 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (–1;0)
Ví dụ 3:
Hướng dẫn giải:
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho hệ phương trình sau:
đâu là nghiệm của hệ phương trình?
A. (1;0)
B. (0;0)
C. (2;1)
D. (1;2)
Lời giải:
Đáp án: A
Từ pt(2) suy ra: y = 2x – 2, thay y vào pt (1) ta được:
8x + 3(2x – 2) = 8 ⇔ 8x + 6x – 6 = 8 ⇔ 14x = 14 ⇔ x = 1.
Với x = 1 ⇒ y = 0.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (1;0).
Câu 2: Cho hệ phương trình sau:
kết quả x + y = ?
A. – 1 B. 0 C. 2 D. 1
Lời giải:
Đáp án: B
Cộng vế theo vế của hai phương trình trên ta được: x = –2
Với x = –2 ⇒ 3y = 4 – (–2) ⇔ 3y = 6 ⇔ y = 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (–2;2).
Do đó: x + y = –2 + 2 = 0.
Câu 3: Cho hệ phương trình sau:
kết quả của 2x –y = ?
A. 0 B. 2 C. 1 D. 3
Lời giải:
Đáp án: C
Câu 4: Cho hệ phương trình sau:
khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hệ phương trình có vô số nghiệm
B. Hệ phương trình vô nghiệm
C. Hệ phương trình có 2 nghiệm
D. Hệ phương trình có 1 nghiệm
Lời giải:
Đáp án: D
ĐKXĐ:
, ta được hệ phương trình sau: 
Nhân pt (1) với 3 ta được: 3a + 3b = 6, rồi cộng với pt (2) ta được: 5a = 5 ⇔ a = 1
Với a = 1 ⇒ b = 1
Khi đó:
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (2;3).
Câu 5: Cho hệ phương trình sau:
nghiệm của hệ phương trình là?
A. ( 9;16)
B. (4;3)
C. ( 25; 36)
D. (5;6)
Lời giải:
Đáp án: A
Nhân pt (1) với 3 ta được: 9a – 3b = 15, rồi cộng với pt(2) ta được: 11a = 33 ⇔ a = 3
Với a = 3 ⇒ b = 4.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (9;16).
Câu 6: Cho hệ phương trình sau:
nghiệm của hệ phương trình là?
A. ( 2;4)
B.(4;6)
C. ( 2; 5)
D. (5;6)
Lời giải:
Đáp án: C
Nhân pt(2) với 2 ta được: 6x – 2y = 2, rồi cộng với pt(1) ta được: 7x = 14 ⇔ x = 2
Với x = 2 ⇒ y = 5.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (2;5).
Câu 7: Cho hệ phương trình sau:
nghiệm của hệ phương trình là?
A. ( 2;4)
B. (4;2)
C. ( 1; 2)
D. (1;– 2)
Lời giải:
Đáp án: D
Từ pt (1) suy ra: y = 2x – 4, thay y vào pt (2) ta được:
x + 3(2x – 4) = –5 ⇒ x + 6x – 12 = – 5 ⇒ 7x = 7 ⇒ x = 1
với x = 1 ⇒ y = 2 – 4 = –2.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (1; –2).
Câu 8: Cho hệ phương trình sau:
nghiệm của hệ phương trình là?
A, ( 3;4)
B,(3;– 4)
C, ( 4; 2)
D, (1;– 2)
Lời giải:
Đáp án: B
Cộng vế theo vế của hai phương trình trên ta được: 5x = 15 ⇔ x = 3
Với x = 3 ⇒ y = 2.3 – 10 = –4
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (3; –4)
Câu 9: Cho hệ phương trình sau:
khẳng định nào sau đây đúng?
A. x > y B. x = 0 C. x < 0 D. x = 1
Lời giải:
Đáp án: A
Từ pt (1) suy ra: x = 17 + 6y, thay x vào pt (2) ta được:
5( 17 + 6y) + y = 23 ⇔ 85 + 30y + y = 23 ⇔ 31y = –62 ⇔ y = – 2
Với y = –2 ⇒ x = 17 + 6(–2) = 5.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (5; –2). Do đó: x> y
Câu 10: Cho hệ phương trình sau:
kết quả của (x – y) : 3 = ?
A. 2 B. 4 C. 3 D. 6
Lời giải:
Đáp án: C
Nhân pt (2) với 2 ta được: 6x + 4y = 64 (3)
Lấy pt (1) trừ vế theo vế cho pt (3) ta được: x = 10
Với x = 10 ⇒ y = (32 – 30) : 2 = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (10; 1). Do đó: (x – y) : 3 = (10 – 1) : 3 = 3
Cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
A. Phương pháp giải
Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thức nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).
Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Bước 4: Kết luận.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: 
Hướng dẫn:
Giải bằng phương pháp thế.
Chú ý: Ta nên rút y theo x ở phương trình hai của hệ, vì hệ số của y là 1.
Ta có: (2) ⇔ y = 8 - 2x.
Thay vào (1) ta được: 3x - 2(8 - 2x) = 5 ⇔ 7x - 16 = 5 ⇔ 7x = 21 ⇔ x = 3.
Với x = 3 thì y = 8 – 2.3 = 2.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (3;2).
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: 
Hướng dẫn:
Từ pt (2) ta có: x = 5 + 3y.
Thay x = 5 + 3y vào pt (1) ta được:
4(5 + 3y) + 5y = 3 ⇔ 12y + 5y + 20 = 3 ⇔ 17y = – 17 ⇔ y = – 1.
Với y = – 1 thì x = 5 + 3( – 1 ) = 2.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (2;-1).
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau: 
Hướng dẫn:
Từ pt (1) ta có: y = –3 – 2x.
Thay y = –3 – 2x vào pt (2) ta được:
2x – 3(–3 – 2x) = 17 ⇔ 2x + 6x + 9 = 17 ⇔ 8x = 8 ⇔ x = 1.
Với x = 1 thì y = –3 – 2.1 = – 5.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (1;- 5).
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Hệ phương trình sau: 
có nghiệm (x;y) là ?
A. (x;y) = (2;1)
B. (x;y) = (1;2)
C. (x;y) = (2;–1)
D. (x;y) = (1;1)
Lời giải:
Hướng dẫn:
Ta có: 
. Từ pt (2) ⇒ y = 5 – 2x.
3x – 2(5 – 2x) = 4 ⇔ 3x + 4x – 10 = 4 ⇔ 7x = 14 ⇔ x = 2.
Với x = 2 thì y = 5 – 2.2 = 1.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (2;1).
Chọn đáp án A.
Câu 2: Trong các hệ phương trình sau đâu là hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn?
Lời giải:
Hướng dẫn:
Chọn đáp án A.
Vì HPT bậc nhất 2 ẩn có dạng là: 
Câu 3: Tìm a, b sao cho hệ phương trình sau: 
có nghiệm (x;y) là (8;5).
A. a = 2, b = 3
B. a = 1, b = 3
C. a = 1, b = 4
D. a = 4, b = 1
Lời giải:
Hướng dẫn:
Vì hpt (I) có nghiệm (x;y) là (8;5) nên ta có: 
Vậy đáp án đúng là C.
Câu 4: Cho hệ phương trình sau: 
. Tìm x + y = ?
A. 3
B. 5
C. 4
D. 6
Lời giải:
Hướng dẫn:
Ta có: 2x + y = 7 ⇒ y = 7 – 2x (1).
Thay (1) vào pt: – x + 4y = 10 ta được:
– x + 4(7 – 2x) = 10 ⇔ – x + 28 – 8x = 10 ⇔ – 9x = –18 ⇔ x = 2.
Với x = 2 thì y = 7 – 2.2 = 3.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (2;3).
Do đó x + y = 2 + 3 = 5.
Chọn đáp án B.
Câu 5: Tìm a, b sao cho đường thẳng (d): y = ax + b đi qua hai điểm A(2;3) và B(–2;1).
A. a = 3, b = 2
B. a = 1, b = 2
C. a = ½, b = 1
D. a = ½, b = 2
Lời giải:
Hướng dẫn:
Vì đường thẳng (d) hai qua hai điểm A,B nên ta có: 
Từ –2a + b = 1 ⇒ b = 1 + 2a (1)
Thay (1) vào pt: 2a + b = 3 ta được:
2a + b = 3 ⇒ 2a + 1 + 2a = 3 ⇔ 4a = 2 ⇔ a = ½.
Với a = ½ thì b = 1 + 2. ½ = 2. Vậy a = ½ và b = 2.
Chọn đáp án D.
Câu 6: Hệ phương trình sau: 
. Tìm 2x – y =?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Lời giải:
Hướng dẫn:
Từ pt: x + y = 5 ⇒ x = 5 – y (1).
Thay (1) vào pt: 2x – y = 1 ta được:
2x – y = 1 ⇒ 2(5 – y) – y = 1 ⇔ 10 – 2y – y = 1 ⇔ 3y = 9 ⇔ y =3.
Với y = 3 thì x = 5 – 3 = 2.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (2;3).
Do đó: 2x – y = 2.2 – 3 = 4 – 3 = 1.
Chọn đáp án B.
Câu 7: Cho hệ phương trình sau: 
. Khi a = 2 thì nghiệm (x;y) của hệ là ?
Lời giải:
Hướng dẫn:
Chọn đáp án C.
Câu 8: Nghiệm (x;y) = (2;1) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây:
Lời giải:
Hướng dẫn:
Chọn đáp án B. Vì khi thay (x;y) = (2;1) vào hệ 
thỏa mãn.
Ta có:
pt (1) VT = 2x + y = 2.2 + 1 = 5 = VP
pt (2) VT = x + y = 2 + 1 = 3 = VP
⇒ Nghiệm (x;y) = (2;1) là nghiệm của hệ phương trình (II).
Câu 9: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: 
A. Không có nghiệm
B. Có một nghiệm duy nhất.
C. Có vô số nghiệm.
D. Có hai nghiệm
Lời giải:
Hướng dẫn:
Ta có: x + y = 5 ⇒ x = 5 – y (1).
Thay (1) vào pt: x + y = 3 ta được: 5 – y + y = 3 ⇒ 0y = 2 (vô lý).
Vậy hệ phương trình không có nghiệm nào thỏa mãn.
Chọn đáp án A.
Câu 10: cho hệ phương trình sau: 
. Kết quả của 2xy – 1 = ?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Lời giải:
Hướng dẫn:
Ta có: x – y = 0 ⇒ x = y (1).
Thay x = y vào pt: 2x – y = 1 ta được: 2x – x = 1 ⇔ x = 1
Với x = 1 ⇒ y = 1.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (1;1).
Do đó: 2xy – 1 = 2.1.1 – 1 = 1.
Chọn đáp án B.
